TARJETA FRACTAL
“Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación". ESCALERA FRACTAL:
Se elaboraron Escaleras Fractales con el uso del "kirigami", el cual es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las tijeras. Se diferencia de los "recortables" en que estos últimos necesitan de un trazo o dibujo previo y en el kirigami se recortan las figuras directamente con las tijeras, lo que lo convierte en una técnica muy creativa. Su término deriva de las palabras japonesas kiru, que significa cortar, y gami, papel.
Es sorprendente como las Matemáticas combinadas con creatividad pueden lograr aprendizajes significativos en el ser humano.
“Un
fractal es una figura, que puede
ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la
manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique
la escala empleada en la observación".
Estrellas Fractales:
Se elaboraron Estrellas Fractales con el uso del "kirigami", el cual es el arte y la técnica de cortar el papel dibujando con las
tijeras. Se diferencia de los "recortables" en que estos últimos
necesitan de un trazo o dibujo previo y en el kirigami se recortan las figuras
directamente con las tijeras, lo que lo convierte en una técnica muy creativa.
Su término deriva de las palabras japonesas kiru, que significa cortar, y gami,
papel.
Es sorprendente como las Matemáticas combinadas con creatividad pueden lograr aprendizajes significativos en el ser humano.
En esta sesión, se me hizo
reflexionar sobre la importancia de mi labor docente.
Desde el tiempo de los Griegos
hemos visto la importancia del conocimiento en la vida del ser humano.
Desafortunadamente la Filosofía (amor a la sabiduría) se centro más en el cómo
se aprende más que en el cómo se enseña, provocando enormes lagunas en el
proceso de enseñanza-aprendizaje. Durante mucho tiempo, la Educación se apoyo
en el Conductismo, entendiendo a éste como el estudio de conductas observables,
haciendo que el individuo no fuera el centro de su propio aprendizaje, tomándolo
como una tabula rasa, es decir, tablas completamente en blanco con ninguna
experiencia de aprendizaje. Esto provoco que los individuos que se educaban no
desarrollaran un sentido crítico de la vida, dejando a un lado la capacidad de
análisis y de razonamiento.
Hoy en día, la sociedad exige
que el individuo desarrolle competencias. Siendo el Constructivismo el que
entra en escena. Bajo este paradigma, ahora el estudiante es el constructor y
centro de su propio aprendizaje, rescatando que la mejor forma de aprender es
haciendo.
Como profesionistas centrados en
la Educación, tenemos la enorme responsabilidad de formar individuos pensantes
y constructores de su propia existencia. Nuestro papel no es el transmitir
conocimiento sino el de generarlo, logrando ser sólo facilitadores, guías, etc.
Por ello, la iniciativa de actualizarme y capacitarme para dicho reto.
También se abordo el tema sobre “FRACTALES”.
Benoît Mandelbrot fue
el responsable de desarrollar, en 1975,
el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (puede
traducirse como “quebrado”).
“Un
fractal es una figura, que puede
ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la
manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique
la escala empleada en la observación.
Los
fractales son, por lo tanto, elementos calificados como semi geométicos (por su
irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una
estructura esencial que se reitera a distintas escalas. Existen estructuras
naturales que son fractales como los copos de nieve”.
También
vimos que los fractales pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud, lo que significa que
las partes tienen la misma estructura que el conjunto total:
*Autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico
a cualquier escala;
*Cuasiautosimilitud, con el
cambio de escala,
las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;
*Autosimilitud estadística, el
fractal debe tener dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la
variación de la escala.
Una técnica que se
utilizó fue la del Triángulo de Sierpinski. A través del teorema del collage, es posible
encontrar un IFS (sistema de
funciones iteradas), que incluye las alteraciones que experimenta una figura completa en
cada uno de sus fragmentos autosemejantes. Al quedar la información codificada
en el IFS, es posible procesar la imagen.
Las
transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten
crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se
llamará "homólogo" de la original.
Las
transformaciones se clasifican en:
·Directa: el homólogo conserva el sentido del
original en el plano cartesiano
·Inversa: el sentido del homólogo y del original
son contrarios
Además,
también se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto
al original en:
·Isométricas: el homólogo conserva las
dimensiones y ángulos. También se llaman "movimientos", éstos son
simetría axial y puntual, rotación y traslación.
·Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los
ángulos. existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el
original. una de ellas es la homotecia.
·Anamórficas: cambia la forma de la figura
original. Una de ellas es la inversión (no la trataremos).
ROTACIÓN
Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de
referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece
fijo.
"Rotación" significa girar alrededor de un centro:
-La distancia del
centro a cualquier punto de la figura es la misma.
-Cada punto sigue un
círculo alrededor del centro.
Las Rotaciones son movimientos
directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras.El sentido de
rotación puede ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor
del sentido horario).
HOMOTECIA
Una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante, donde los
lados proporcionales son paralelos y los puntos que se corresponden están
alineados con respecto a un punto fijo. A este punto fijo, se le conoce como
Centro de homotecia y, es donde coinciden las rectas que pasan por los vértices
correspondientes de las figuras semejantes.
La razón de homotecia es el
cociente que existe entre la distancia del centro de homotecia al vértice de la
primera figura, sobre la distancia del centro de homotecia al vértice
correspondiente de la segunda figura.
TRASLACIÓN
Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de
orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos
trasladados, a las cuales deslizan según el vector.
REFLEXIÓN
Reflexión con respecto a un punto
Hay reflexiones en todas partes...en espejos, cristales, etc. La reflexión tiene
el mismo tamaño que la imagen original y los puntos están a la misma distancia
del punto central. No importa en qué dirección vaya el reflejo, la imagen
reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección.
Reflexión con respecto a una línea de reflexión
Simetría es cuando una figura se vuelve exactamente igual que otra si la volteas
o la giras.
La forma más simple de simetría es la simetría de “Reflexión” (o
“Espejo”).
Este día fue dedicado a estudiar
la clasificación de la Geometría, de acuerdo a su axiomática, medidas, cardinalidad,
y dimensión.
Nos enfocamos a la clasificación según las medidas, específicamente
a las “relaciones”. Dentro de esta rama tenemos el estudio de la Topología (del griego
τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”), entendiendo a ésta como la rama de las matemáticas
dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que
permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que
estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se
interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el
tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar
objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad,
compacidad,
metricidad o metrizabilidad, etcétera.
Dentro de la topología encontramos
a la teoría de los nudos (relación “adentro-afuera”). Se hizo la actividad de
las agujetas que consistió en amarrar una cuerda a las muñecas de dos personas,
quedaron entrelazadas. La indicación fue que estas dos personas tenían que
separarse pero sin desatar la cuerda de sus muñecas. La actividad fue muy
interesante, ya que se intento hacer la indicación pero no se logro dicha
separación. Posteriormente el Dr. Mocencahua, a través, de ésta teoría nos hizo
saber la solución, siendo ésta más sencilla que los posibles intentos.
Otra actividad que tiene que ver
con la Topología fue la teoría de Grafos y, las actividades fueron: los puentes
de Koninsberg (el pasar al otro lado del río, pasando por todos los caminos
pero sin pasar 2 veces por el mismo punto) y, las “Tripas de Gato”, que
consistía en dar servicios a tres casas de gas, electricidad y agua, la
condición era que las redes de conexión no tenían que tocarse entre sí.
También se mencionaron las
equivalencias topológicas, puntualizando al “Género”, cuya clasificación va del
0 al 2. Un ejemplo de Género 0 es una sábana, una hoja, es decir, todo aquello
que no tiene ninguna perforación. Dentro de la clasificación 1 tenemos al ser
humano, un tubo, un popote, etc., cuya característica es que tienen una
perforación. Siendo ésta en el ser humano la boca-ano. Y, por último, tenemos a
la clasificación 2, entendiendo que ahora se tienen dos perforaciones, por
ejemplo, las orejas de las tijeras.
También elaboramos un
hexaflexágono, trazando 10 triángulos equiláteros. Esta actividad fue muy
creativa, pues observamos como a través del movimiento nuestra decoración iba
tomando diversas formas.
Otra actividad fue hacer la “Tira
de Moëbius (superficie no orientable y con una sola cara), que consistió en
hacer tiras de papel y pegarlas desde sus extremos, posteriormente se pegaron
los extremos y se recorto a la mitad, el resultado fue sorprendente, pues
depende de cómo se pego inicialmente la hoja, pues de esto dependerá si esa
tira al recortarse se separa o se queda unida.
Otra teoría que se desprende de
la Topología es la “Teoría de Klein” que consiste en demostrar cómo una persona
es capaz de atravesar una hoja de papel. La actividad consistió en recortar
tiras de papel de tal forma que al separar esas tiras se formo una sola,
logrando así dicha demostración.
También se trabajo con la
Geometría Computacional, específicamente con la programación (encadenar las
piezas-pensamiento secuencial) utilizando el programa Turtle Art. Es importante
resaltar que la programación es una maravilla pero que una máquina no es autodidacta
sino que siempre será eso, una máquina, siendo el mismo ser humano el que debe
dar la orden de lo que se desea hacer.
Esta bitácora contiene la
información que se investigó y, que se verificó con el apoyo de la herramienta
Geogebra, sobre algunas características de las siguientes transformaciones
geométricas:
Reflexión
Traslación
Rotación
Homotecia
Comenzaremos por hablar de la
reflexión. Esta es una transformación geométrica que posee puntos invariantes,
siendo estos los del eje de simetría; posee la característica del inverso,
siendo éste el que está sobre su mismo eje; posee isometría pues no cambia el tamaño
de la figura; no posee sentido porque se encuentra en sentido contrario;
conserva la medida de los ángulos y; no posee la característica del neutro
porque tiene movimiento.
Paisaje reflejado en la superficie de un lago.
La siguiente transformación es la
traslación. Ésta no tiene puntos invariantes; si tiene la característica del
inverso; posee isometría al no cambiar de tamaño a la figura; posee el mismo
sentido; conserva la medida de los ángulos y; no posee la característica del
neutro.
La transformación geométrica
conocida como rotación posee puntos invariantes, siendo éste el punto de
rotación; no tiene la característica del inverso; posee isometría al no
modificar el tamaño de la figura; no tiene la característica de sentido porque
al generarse puede ser horario o anti-horario; conserva la misma medida de los
ángulos y; no posee la característica del neutro, por ejemplo, cuando se
trabaja con cero grados.
Y por último, la homotecia. Ésta
posee puntos invariantes como lo es el punto o centro de homotecia; posee la característica
del inverso cuando el factor es menor que 1; no tiene isometría pues el tamaño
de la figura se modifica de acuerdo al factor de escala (ampliación o
reducción); cambia el sentido de acuerdo al factor de escala (negativo); se
conserva la misma medida de los ángulos y; si posee la característica del
neutro siempre y cuando el factor de escala sea 1.
Esta bitácora trata sobre un número muy especial llamado “número áureo o de oro” o también conocido como “razón dorada”.
Éste número fue descubierto por Fibonacci y está representado
por la letra griegaφ (fi), en honor al
escultor griego Fidias.
Se le define como: “El valor numérico de la proporción
que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que
b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total a+b es al segmento a,
como a es al segmento b”.
Es sorprendente como ésta proporción se encuentra tanto
en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, por ejemplo: en las
nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el
caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
También resulta fascinante
como a lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de
diversas obras de arquitectura y otras artes, por ejemplo: relaciones
en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh, la
relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón,
en Atenas
(s. V a. C.), el número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los
objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel,
Durero
y Leonardo Da Vinci, en
las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta
Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz
Schubert y Claude Debussy, el
número phi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las
matemáticas", en la conformación de la estructura de la Torre Eiffel,
etc.
Datos
extras:
·El primero en hacer un estudio formal del número áureo
fue Euclides
(c. 300-265 a. C.),
quién lo definió de la siguiente manera:
"Se dice
que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera
es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”.
Euclides demostró también que este número no puede ser
descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional:
·En 1509 el matemático y teólogoLuca Pacioli
publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea
cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:
Según Pacioli, de la misma manera en que
Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por
el dodecaedro;
el número áureo dio ser al dodecaedro.
También es sorprendente como en el episodio de Mentes Criminales
"Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes del
profesor Rothschild siguen una sucesión de Fibonacci; en la primera zona,
mató a una víctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la
cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones
también se disponen según una espiral áurea, de fuera hacia dentro: el
sitio donde estaban secuestrados los niños estaba justo en el centro.
Hasta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto se acercaran las
relaciones entre sus rasgos faciales al número áureo: buscaba que fueran
los "especímenes más perfectos de ser humano".
Preguntas:
¿En
donde es utilizado el ángulo de oro?
¿Existe
relación entre el triángulo de Kepler y el teorema de Pitágoras?
A
continuación, algunos ejemplos de la razón dorada empleando el compás dorado:
Esta sesión fue tan enriquecedora
como el resto de las sesiones pues aprendí conceptos muy interesantes.
Comenzaremos por comentar sobre
la “Razón Dorada”. Los griegos como sabemos hicieron grandes aportaciones al
mundo de las ciencias exactas y, una de estas fue el cuestionarse ¿Cómo medir
la belleza? Y hallando respuesta encontraron que existe un número que define
perfectamente a la belleza, destacando su perfección y armonía. Este número es
el “número áureo o de oro” o también conocido
como “razón dorada”. Éste número, descubierto
por Fibonacci está
representado por la letra griegaφ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en
honor al escultor griego Fidias.
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
Es
sorprendente como esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras
geométricas como en la naturaleza, por ejemplo: en las nervaduras de las hojas
de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol,
en los flósculos de los girasoles, etc.
También observamos en el arte y la cultura al número áureo, por
ejemplo: en la relación
entre las partes, el techo y las columnas del Partenón,
en Atenas,
en los violines
(la ubicación de las efes o eses -los “oídos” u orificios en la tapa-) se
relaciona con el número áureo, también aparece en las relaciones entre altura y
ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel,
Durero
y Leonardo Da Vinci, entre otros.
También elaboramos el compás dorado, y fue sorprendente conocer su
utilidad. Actividad que definitivamente pondré en práctica con mis estudiantes
al interior del aula.
Otra actividad fue el conocer más detalladamente las características como:
puntos invariantes, inversa, isometría, sentido y neutro, con la herramienta
Geogebra, de las siguientes transformaciones:
Reflexión
Traslación
Rotación
Homotecia
Lo que estoy aprendiendo de la
clase de Geometría de la Maestría en Competencias Matemáticas es que siempre
hay que ir a la vanguardia en nuestra profesión, impactando en nuestros
estudiantes la visión tan negativa que se tiene de la asignatura de
Matemáticas, logrando apreciar no solo su utilidad en nuestra vida diaria sino
también lo divertido que puede resultar al plantear actividades como las de
esta sesión.
A continuación comparto algunas fotografías de la
comunidad donde laboro (Chilchotla, pue.), las cuales muestran algunos ejemplos
de fractales contenidos en la naturaleza.
¿Qué es un fractal?
Los fractales son entidades matemáticas que están
por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir
porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común:
son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da
lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Es decir, da
como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser
de longitud infinita). Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su
estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo
parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo
que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades
infinitas.
Los caleidociclos (también
llamados calidociclos) son formas geométricas -generalmente- de papel, que se
han utilizado en el diseño gráfico, tanto para promocionales como material
didáctico: tanto en la enseñanza de aspectos matemáticos, como de composición y
diseño, gráfico, industrial o arquitectónico, así como de arte. Los
Caleidociclos son formas bellas que giran, el término aparece por vez primera
en el libro de Scahttschneider y Wallace (1977), y se deriva de los vocablos
griegos: cali; belleza, eidos; forma y ciclo; anillo,
girar o volver al punto de origen.
Los Caleidociclos forman parte
de una disciplina que se denomina Arquitecura de papel, del inglés Origamic
Architecture, y ésta del alemán Pappierarchitecture.
Los hay de diferentes tipos:
En cierto sentido los
caleidoscopios serían caleidociclos visuales.
Los planos,
entre los que podemos encontrar a los flexágonos, descubiertos por Arthur
H.Stone a mediados de siglo XX.
Hay otros caleidociclos planos
que funcionan como los flexágonos, pero son en formato de cuadro, y pueden
tener diferentes órdenes. podríamos sugerir el nombre de tetraflexágonos, ya
que el nombre completo de los flexágonos de Stone es hexahexaflexágonos (si son
de orden 6) trihexaflexágonos (si son de orden 3).
Los tridimensionales,
entre los que se encuentran los descubiertos por Wallace Walker en 1958, como
una derivación de su red isoaxis. Esta red la descubre como resultado del
estudio de diversas posibilidades que se pueden lograr con el plegado del
papel.
De acuerdo al número de piezas
que tienen los caleidoclos se les denomina de orden 6, 8, etcétera. Así un
caleidociclo de orden 12, estará conformado por 12 piezas.
Otra tipología de los
caleidociclos tridimensionales son los flexicubos o cubos caleidociclos, que
desarrollara, entre otros el escultor mexicano Enrique Carbajal (Sebastian).
A continuación, se
construirá un Caleidociclo hexagonal (así llamado porque visto desde arriba una vez
cerrado en torno a su centro, tiene forma de hexágono regular):
Para
construirlo puedes apoyarte de la siguiente plantilla (desarrollo plano),
pasándola en papel (por ejemplo en cartulina) y, recortando todo su
contorno.
Utiliza tu creatividad coloreándolo o decorándolo.
3. Después, marcamos
todas las líneas apoyándonos con la punta de unas tijeras y una regla, logrando
así, realizar más fácilmente los dobleces.
4. Posteriormente, doblamos
todas las líneas a manera de que las caras impresas se superpongan hasta
que se logre la forma deseada
5. Luego, se procede a pegar los triángulos que se han encorvado
con los triángulos opuestos, formándose así los tetraedros.
6. Posteriormente, damos la forma de un anillo pegando los
extremos.
7. Por último, y una vez que esté bien pegado podemos girar
el anillo sobre sí mismo, en el sentido que desees.
Veremos como los vértices de los tetraedros se unen en un solo punto y
luego vuelven a separarse. Podemos darle todas las vueltas que queramos sin que
se deforme.
En el siguiente video se muestra el resultado del procedimiento
anterior.
Reflexión
La elaboración del
caleidociclo hexagonal, desde su desarrollo plano hasta su construcción me
pareció una actividad lúdica muy interesante. Es una manera divertida de
aprender Matemáticas, pues, en cada paso vas repasando y aprendiendo conceptos
nuevos.
Comentario
Cuando hice el desarrollo plano del caleidociclo en clase, me di cuenta
de que cometi errores de precisión, pues, las medidas de los triángulos
isósceles eran de 8 cm x 7.9 cm x 8 cm. Inicialmente esas eran las medidas pero
conforme avanzaba las medidas de los triángulos se modificaban. Esto me llevo a
que al momento de construir el cuerpo geométrico no embonaba bien y, no
logrando que girara con facilidad.
Preguntas
¿Bajo qué principios se construye un caleidociclo plano y uno
tridimensional?
¿Quién determina el orden en
un caleidociclo? Por ejemplo, un trihexaflexágonos es de orden 3.