A continuación comparto algunas fotografías de la
comunidad donde laboro (Chilchotla, pue.), las cuales muestran algunos ejemplos
de fractales contenidos en la naturaleza.
¿Qué es un fractal?
Los fractales son entidades matemáticas que están
por todas partes. Y, precisamente, por su variedad, son difíciles de definir
porque no todos cumplen las mismas características, aunque hay algo en común:
son el producto de la repetición de un proceso geométrico elemental que da
lugar a una estructura final de una complicación extraordinaria. Es decir, da
como resultado un conjunto cuya frontera es imposible dibujar a pulso (por ser
de longitud infinita). Hay muchos objetos de la naturaleza que, debido a su
estructura o comportamiento, son considerados fractales naturales aunque no lo
parezcan: las nubes, las montañas, las costas, los árboles y los ríos. En lo
que se diferencian de los fractales matemáticos es que éstos son entidades
infinitas.
Los caleidociclos (también
llamados calidociclos) son formas geométricas -generalmente- de papel, que se
han utilizado en el diseño gráfico, tanto para promocionales como material
didáctico: tanto en la enseñanza de aspectos matemáticos, como de composición y
diseño, gráfico, industrial o arquitectónico, así como de arte. Los
Caleidociclos son formas bellas que giran, el término aparece por vez primera
en el libro de Scahttschneider y Wallace (1977), y se deriva de los vocablos
griegos: cali; belleza, eidos; forma y ciclo; anillo,
girar o volver al punto de origen.
Los Caleidociclos forman parte
de una disciplina que se denomina Arquitecura de papel, del inglés Origamic
Architecture, y ésta del alemán Pappierarchitecture.
Los hay de diferentes tipos:
En cierto sentido los
caleidoscopios serían caleidociclos visuales.
Los planos,
entre los que podemos encontrar a los flexágonos, descubiertos por Arthur
H.Stone a mediados de siglo XX.
Hay otros caleidociclos planos
que funcionan como los flexágonos, pero son en formato de cuadro, y pueden
tener diferentes órdenes. podríamos sugerir el nombre de tetraflexágonos, ya
que el nombre completo de los flexágonos de Stone es hexahexaflexágonos (si son
de orden 6) trihexaflexágonos (si son de orden 3).
Los tridimensionales,
entre los que se encuentran los descubiertos por Wallace Walker en 1958, como
una derivación de su red isoaxis. Esta red la descubre como resultado del
estudio de diversas posibilidades que se pueden lograr con el plegado del
papel.
De acuerdo al número de piezas
que tienen los caleidoclos se les denomina de orden 6, 8, etcétera. Así un
caleidociclo de orden 12, estará conformado por 12 piezas.
Otra tipología de los
caleidociclos tridimensionales son los flexicubos o cubos caleidociclos, que
desarrollara, entre otros el escultor mexicano Enrique Carbajal (Sebastian).
A continuación, se
construirá un Caleidociclo hexagonal (así llamado porque visto desde arriba una vez
cerrado en torno a su centro, tiene forma de hexágono regular):
Para
construirlo puedes apoyarte de la siguiente plantilla (desarrollo plano),
pasándola en papel (por ejemplo en cartulina) y, recortando todo su
contorno.
Utiliza tu creatividad coloreándolo o decorándolo.
3. Después, marcamos
todas las líneas apoyándonos con la punta de unas tijeras y una regla, logrando
así, realizar más fácilmente los dobleces.
4. Posteriormente, doblamos
todas las líneas a manera de que las caras impresas se superpongan hasta
que se logre la forma deseada
5. Luego, se procede a pegar los triángulos que se han encorvado
con los triángulos opuestos, formándose así los tetraedros.
6. Posteriormente, damos la forma de un anillo pegando los
extremos.
7. Por último, y una vez que esté bien pegado podemos girar
el anillo sobre sí mismo, en el sentido que desees.
Veremos como los vértices de los tetraedros se unen en un solo punto y
luego vuelven a separarse. Podemos darle todas las vueltas que queramos sin que
se deforme.
En el siguiente video se muestra el resultado del procedimiento
anterior.
Reflexión
La elaboración del
caleidociclo hexagonal, desde su desarrollo plano hasta su construcción me
pareció una actividad lúdica muy interesante. Es una manera divertida de
aprender Matemáticas, pues, en cada paso vas repasando y aprendiendo conceptos
nuevos.
Comentario
Cuando hice el desarrollo plano del caleidociclo en clase, me di cuenta
de que cometi errores de precisión, pues, las medidas de los triángulos
isósceles eran de 8 cm x 7.9 cm x 8 cm. Inicialmente esas eran las medidas pero
conforme avanzaba las medidas de los triángulos se modificaban. Esto me llevo a
que al momento de construir el cuerpo geométrico no embonaba bien y, no
logrando que girara con facilidad.
Preguntas
¿Bajo qué principios se construye un caleidociclo plano y uno
tridimensional?
¿Quién determina el orden en
un caleidociclo? Por ejemplo, un trihexaflexágonos es de orden 3.
Hablar sobre la clase de
Geometría en la Maestría es sinónimo de APRENDIZAJE. Es fascinante ver como poco
a poco cada una de las personas que conformamos el grupo vamos perdiendo el
miedo a lo desconocido, disfrutando cada vez más las actividades realizadas y,
sobre todo proponiéndonos a alcanzar mayores retos.
Lo que me pareció importante en
la clase es la manera en cómo podemos socializar el conocimiento, haciendo uso
de la tecnología como fue el caso del mapa mental en línea que hicimos entre
todos, apoyándonos del programa MindMeister. Definitivamente otra manera de
hacer pedagogía (entendiendo este término como el arte de enseñar). También
debo puntualizar que al trabajar en equipo resulto muy enriquecedor, pues
aprendí cosas nuevas de mis compañeros.
Me gusta la versatilidad con la
que se trabaja en clase, pues no sólo aprendo más sobre el uso de herramientas tecnológicas sino también aprendo
a hacer Matemáticas con las herramientas tradicionales, como lo es el uso de
nuestro juego de geometría y el papel, agregándole un toque de ingenio y, me
refiero a la construcción del calidociclo, partiendo del desarrollo plano de
tetraedros. Con este tipo de actividades propiciamos en nuestros chicos un aprendizaje
práctico y divertido.
Definitivamente todo lo que estoy
aprendiendo en clase me está sirviendo para mejorar mi práctica docente y,
muchas de las actividades las estoy implementando con mis estudiantes.
Como profesionistas y, me refiero
específicamente a los que tenemos la hermosa profesión de ser profesores (desde
el preescolar hasta un posgrado) tenemos la responsabilidad de formar
individuos analíticos, innovadores, deseosos por aprender y por comprender más
el mundo en el cual viven. Pero esto resultaría imposible si no comenzamos por
evaluar nuestra propia práctica y, sobre todo por tomar la decisión de
modificar la práctica tradicional que hace que las Matemáticas sean odiadas por
muchos de nuestros estudiantes.
Quisiera terminar esta reflexión
con el siguiente pensamiento: “Bienaventurado el hombre que halla la sabiduría,
y que obtiene la inteligencia; porque su ganancia es mejor que la ganancia de
la plata, y sus frutos más que el oro fino. Más preciosa es que las piedras
preciosas; y todo lo que puedes desear, no se puede comparar a ella…”
