FRACTALES

Reflexión de Clase: 20 de Abril

En esta sesión, se me hizo reflexionar sobre la importancia de mi labor docente.

Desde el tiempo de los Griegos hemos visto la importancia del conocimiento en la vida del ser humano. Desafortunadamente la Filosofía (amor a la sabiduría) se centro más en el cómo se aprende más que en el cómo se enseña, provocando enormes lagunas en el proceso de enseñanza-aprendizaje. Durante mucho tiempo, la Educación se apoyo en el Conductismo, entendiendo a éste como el estudio de conductas observables, haciendo que el individuo no fuera el centro de su propio aprendizaje, tomándolo como una tabula rasa, es decir, tablas completamente en blanco con ninguna experiencia de aprendizaje. Esto provoco que los individuos que se educaban no desarrollaran un sentido crítico de la vida, dejando a un lado la capacidad de análisis y de razonamiento.

Hoy en día, la sociedad exige que el individuo desarrolle competencias. Siendo el Constructivismo el que entra en escena. Bajo este paradigma, ahora el estudiante es el constructor y centro de su propio aprendizaje, rescatando que la mejor forma de aprender es haciendo.

Como profesionistas centrados en la Educación, tenemos la enorme responsabilidad de formar individuos pensantes y constructores de su propia existencia. Nuestro papel no es el transmitir conocimiento sino el de generarlo, logrando ser sólo facilitadores, guías, etc. Por ello, la iniciativa de actualizarme y capacitarme para dicho reto.

También se abordo el tema sobre “FRACTALES”. Benoît Mandelbrot fue el responsable de desarrollar, en 1975, el concepto de fractal, que proviene del vocablo latino fractus (puede traducirse como “quebrado”).

“Un fractal es una figura, que puede ser espacial o plana, formada por componentes infinitos. Su principal característica es que su apariencia y la manera en que se distribuye estadísticamente no varía aun cuando se modifique la escala empleada en la observación.

Los fractales son, por lo tanto, elementos calificados como semi geométicos (por su irregularidad no pertenecen a la geometría tradicional) que disponen de una estructura esencial que se reitera a distintas escalas. Existen estructuras naturales que son fractales como los copos de nieve”.

También vimos que los fractales pueden presentar 3 clases diferentes de autosimilitud, lo que significa que las partes tienen la misma estructura que el conjunto total:

*Autosimilitud exacta, el fractal resulta idéntico a cualquier escala;
*Cuasiautosimilitud, con el cambio de escala, las copias del conjunto son muy semejantes, pero no idénticas;
*Autosimilitud estadística, el fractal debe tener dimensiones estadísticas o de número que se conserven con la variación de la escala.

Una técnica que se utilizó fue la del Triángulo de Sierpinski. A través del teorema del collage, es posible encontrar un IFS (sistema de funciones iteradas), que incluye las alteraciones que experimenta una figura completa en cada uno de sus fragmentos autosemejantes. Al quedar la información codificada en el IFS, es posible procesar la imagen.

VOKI DE EULER

Esta es la presentación de otro brillante personaje que hizo grandes aportaciones a la Geometría...Euler. Miremos el siguiente Voki:

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS-PANTALLAS

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS

Las transformaciones geométricas son la o las operaciones geométricas que permiten crear una nueva figura a partir de una previamente dada. La nueva figura se llamará "homólogo" de la original.

Las transformaciones se clasifican en:

·         Directa: el homólogo conserva el sentido del original en el plano cartesiano

·         Inversa: el sentido del homólogo y del original son contrarios

Además, también se pueden clasificar de acuerdo con la forma del homólogo con respecto al original en:

·         Isométricas: el homólogo conserva las dimensiones y ángulos. También se llaman "movimientos", éstos son simetría axial y puntual, rotación y traslación.

·         Isomórficas: el homólogo conserva la forma y los ángulos. existe proporcionalidad entre las dimensiones del homólogo con el original. una de ellas es la homotecia.

·         Anamórficas: cambia la forma de la figura original. Una de ellas es la inversión (no la trataremos).

ROTACIÓN

Rotación es el movimiento de cambio de orientación de un cuerpo o un sistema de referencia de forma que una línea (llamada eje de rotación) o un punto permanece fijo.

"Rotación" significa girar alrededor de un centro:

-La distancia del centro a cualquier punto de la figura es la misma.

-Cada punto sigue un círculo alrededor del centro.

Las Rotaciones son movimientos directos, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras. El sentido de rotación puede ser positivo (en contra del sentido horario) o negativo (a favor del sentido horario).

HOMOTECIA

Una homotecia es la transformación de una figura en otra semejante, donde los lados proporcionales son paralelos y los puntos que se corresponden están alineados con respecto a un punto fijo. A este punto fijo, se le conoce como Centro de homotecia y, es donde coinciden las rectas que pasan por los vértices correspondientes de las figuras semejantes. 

La razón de homotecia es el cociente que existe entre la distancia del centro de homotecia al vértice de la primera figura, sobre la distancia del centro de homotecia al vértice correspondiente de la segunda figura.

TRASLACIÓN

Las traslaciones pueden entenderse como movimientos directos sin cambios de orientación, es decir, mantienen la forma y el tamaño de las figuras u objetos trasladados, a las cuales deslizan según el vector.

REFLEXIÓN

Reflexión con respecto a un punto

 

Hay reflexiones en todas partes...en espejos, cristales, etc. La reflexión tiene el mismo tamaño que la imagen original y los puntos están a la misma distancia del punto central. No importa en qué dirección vaya el reflejo, la imagen reflejada siempre tiene el mismo tamaño, pero en la otra dirección.

Reflexión con respecto a una línea de reflexión

Simetría es cuando una figura se vuelve exactamente igual que otra si la volteas o la giras.
La forma más simple de simetría es la simetría de “Reflexión” (o “Espejo”).

Reflexión de Clase: Sábado 13 de Abril

Reflexión de Clase: Sábado 13 de Abril

Este día fue dedicado a estudiar la clasificación de la Geometría, de acuerdo a su axiomática, medidas, cardinalidad, y dimensión.

Nos enfocamos a  la clasificación según las medidas, específicamente a las “relaciones”. Dentro de esta rama tenemos el estudio de la Topología (del griego τόπος, “lugar”, y λόγος, “estudio”), entendiendo a ésta como la rama de las matemáticas dedicada al estudio de aquellas propiedades de los cuerpos geométricos que permanecen inalteradas por transformaciones continuas. Es una disciplina que estudia las propiedades de los espacios topológicos y las funciones continuas. La Topología se interesa por conceptos como proximidad, número de agujeros, el tipo de consistencia (o textura) que presenta un objeto, comparar objetos y clasificar, entre otros múltiples atributos donde destacan conectividad, compacidad, metricidad o metrizabilidad, etcétera.

Dentro de la topología encontramos a la teoría de los nudos (relación “adentro-afuera”). Se hizo la actividad de las agujetas que consistió en amarrar una cuerda a las muñecas de dos personas, quedaron entrelazadas. La indicación fue que estas dos personas tenían que separarse pero sin desatar la cuerda de sus muñecas. La actividad fue muy interesante, ya que se intento hacer la indicación pero no se logro dicha separación. Posteriormente el Dr. Mocencahua, a través, de ésta teoría nos hizo saber la solución, siendo ésta más sencilla que los posibles intentos.

Otra actividad que tiene que ver con la Topología fue la teoría de Grafos y, las actividades fueron: los puentes de Koninsberg (el pasar al otro lado del río, pasando por todos los caminos pero sin pasar 2 veces por el mismo punto) y, las “Tripas de Gato”, que consistía en dar servicios a tres casas de gas, electricidad y agua, la condición era que las redes de conexión no tenían que tocarse entre sí.

También se mencionaron las equivalencias topológicas, puntualizando al “Género”, cuya clasificación va del 0 al 2. Un ejemplo de Género 0 es una sábana, una hoja, es decir, todo aquello que no tiene ninguna perforación. Dentro de la clasificación 1 tenemos al ser humano, un tubo, un popote, etc., cuya característica es que tienen una perforación. Siendo ésta en el ser humano la boca-ano. Y, por último, tenemos a la clasificación 2, entendiendo que ahora se tienen dos perforaciones, por ejemplo, las orejas de las  tijeras. 

También elaboramos un hexaflexágono, trazando 10 triángulos equiláteros. Esta actividad fue muy creativa, pues observamos como a través del movimiento nuestra decoración iba tomando diversas formas.

Otra actividad fue hacer la “Tira de Moëbius (superficie no orientable y con una sola cara), que consistió en hacer tiras de papel y pegarlas desde sus extremos, posteriormente se pegaron los extremos y se recorto a la mitad, el resultado fue sorprendente, pues depende de cómo se pego inicialmente la hoja, pues de esto dependerá si esa tira al recortarse se separa o se queda unida.

Otra teoría que se desprende de la Topología es la “Teoría de Klein” que consiste en demostrar cómo una persona es capaz de atravesar una hoja de papel. La actividad consistió en recortar tiras de papel de tal forma que al separar esas tiras se formo una sola, logrando así dicha demostración.    

También se trabajo con la Geometría Computacional, específicamente con la programación (encadenar las piezas-pensamiento secuencial) utilizando el programa Turtle Art. Es importante resaltar que la programación es una maravilla pero que una máquina no es autodidacta sino que siempre será eso, una máquina, siendo el mismo ser humano el que debe dar la orden de lo que se desea hacer.  

GLOGSTER DE EUCLIDES

Glogster: Quinto Postulado de Euclides de Alejandría

Glogster sobre El Quinto Postulado de Euclides de Alejandría

Transformaciones Geométricas

Transformaciones Geométricas/Geogebra

 (Bitácora 11)

Esta bitácora contiene la información que se investigó y, que se verificó con el apoyo de la herramienta Geogebra, sobre algunas características de las siguientes transformaciones geométricas:

• Reflexión
• Traslación
• Rotación
• Homotecia

Comenzaremos por hablar de la reflexión. Esta es una transformación geométrica que posee puntos invariantes, siendo estos los del eje de simetría; posee la característica del inverso, siendo éste el que está sobre su mismo eje; posee isometría pues no cambia el tamaño de la figura; no posee sentido porque se encuentra en sentido contrario; conserva la medida de los ángulos y; no posee la característica del neutro porque tiene movimiento.

Paisaje reflejado en la superficie de un lago.

La siguiente transformación es la traslación. Ésta no tiene puntos invariantes; si tiene la característica del inverso; posee isometría al no cambiar de tamaño a la figura; posee el mismo sentido; conserva la medida de los ángulos y; no posee la característica del neutro.

La transformación geométrica conocida como rotación posee puntos invariantes, siendo éste el punto de rotación; no tiene la característica del inverso; posee isometría al no modificar el tamaño de la figura; no tiene la característica de sentido porque al generarse puede ser horario o anti-horario; conserva la misma medida de los ángulos y; no posee la característica del neutro, por ejemplo, cuando se trabaja con cero grados.

Y por último, la homotecia. Ésta posee puntos invariantes como lo es el punto o centro de homotecia; posee la característica del inverso cuando el factor es menor que 1; no tiene isometría pues el tamaño de la figura se modifica de acuerdo al factor de escala (ampliación o reducción); cambia el sentido de acuerdo al factor de escala (negativo); se conserva la misma medida de los ángulos y; si posee la característica del neutro siempre y cuando el factor de escala sea 1. 

Razón Dorada

(Bitácora 10)

Esta bitácora trata sobre un número muy especial llamado “ número áureo o de oro” o también conocido como “razón dorada”. Éste número fue descubierto por Fibonacci y está representado por la letra griega φ (fi), en honor al escultor griego Fidias.

Se le define como: “El valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:

La longitud total a+b es al segmento a, como a es al segmento b”.

Es sorprendente como ésta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, por ejemplo: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

También resulta fascinante como a lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño de diversas obras de arquitectura y otras artes, por ejemplo: relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh, la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas (s. V a. C.), el número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, en las estructuras formales de las sonatas de Wolfgang Amadeus Mozart, en la Quinta Sinfonía de Ludwig van Beethoven, en obras de Franz Schubert y Claude Debussy, el número phi aparece en la película de Disney "Donald en el país de las matemáticas", en la conformación de la estructura de la Torre Eiffel, etc.

Datos extras:

·         El primero en hacer un estudio formal del número áureo fue Euclides (c. 300-265 a. C.), quién lo definió de la siguiente manera:

"Se dice que una recta ha sido cortada en extrema y media razón cuando la recta entera es al segmento mayor como el segmento mayor es al segmento menor”.

Euclides demostró también que este número no puede ser descrito como la razón de dos números enteros, es decir, es un número irracional:

·         En 1509 el matemático y teólogo Luca Pacioli publicó De Divina Proportione (La Divina Proporción), donde plantea cinco razones por las que estima apropiado considerar divino al número áureo:

1. La unicidad; Pacioli compara el valor único del número áureo con la unicidad de Dios.
2. El hecho de que esté definido por tres segmentos de recta, Pacioli lo asocia con la Trinidad (sic).
3. La inconmensurabilidad; para Pacioli la inconmensurabilidad del número áureo y la inconmensurabilidad de Dios son equivalentes.
4. La Autosimilaridad asociada al número áureo; Pacioli la compara con la omnipresencia e invariabilidad de Dios.
5. Según Pacioli, de la misma manera en que Dios dio ser al Universo a través de la quinta esencia, representada por el dodecaedro; el número áureo dio ser al dodecaedro.

·         En 1525, Alberto Durero describe cómo trazar con regla y compás la espiral áurea basada en la sección áurea, que se conoce como “espiral de Durero”.

• También es sorprendente como en el episodio de Mentes Criminales "Obra maestra" (Cuarta temporada, episodio 8), los crímenes del profesor Rothschild siguen una sucesión de Fibonacci; en la primera zona, mató a una víctima; en la segunda, a otra; en la tercera, a dos; en la cuarta, a tres; y en la quinta, a cinco: doce en total. Las localizaciones también se disponen según una espiral áurea, de fuera hacia dentro: el sitio donde estaban secuestrados los niños estaba justo en el centro. Hasta eligió a sus doce primeras víctimas según cuánto se acercaran las relaciones entre sus rasgos faciales al número áureo: buscaba que fueran los "especímenes más perfectos de ser humano".

Preguntas:

¿En donde es utilizado el ángulo de oro?

 

¿Existe relación entre el triángulo de Kepler y el teorema de Pitágoras?

A continuación, algunos ejemplos de la razón dorada empleando el compás dorado:

 1)

2)

3)

4)

Bitácora 9

Reflexión sobre la clase del sábado 16 de Marzo

(Bitácora 9)

Esta sesión fue tan enriquecedora como el resto de las sesiones pues aprendí conceptos muy interesantes.

Comenzaremos por comentar sobre la “Razón Dorada”. Los griegos como sabemos hicieron grandes aportaciones al mundo de las ciencias exactas y, una de estas fue el cuestionarse ¿Cómo medir la belleza? Y hallando respuesta encontraron que existe un número que define perfectamente a la belleza, destacando su perfección y armonía. Este número es el “ número áureo o de oro” o también conocido como “razón dorada”. Éste número, descubierto por Fibonacci está representado por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias.

Se trata de un número irracional:

El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.   

Es sorprendente como esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en la naturaleza, por ejemplo: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.

También observamos en el arte y la cultura al número áureo, por ejemplo:  en la relación entre las partes, el techo y las columnas del Partenón, en Atenas, en los violines (la ubicación de las efes o eses -los “oídos” u orificios en la tapa-) se relaciona con el número áureo, también aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel, Durero y Leonardo Da Vinci, entre otros.

También elaboramos el compás dorado, y fue sorprendente conocer su utilidad. Actividad que definitivamente pondré en práctica con mis estudiantes al interior del aula.   

Otra actividad fue el conocer más detalladamente las características como: puntos invariantes, inversa, isometría, sentido y neutro, con la herramienta Geogebra, de las siguientes transformaciones:

• Reflexión

• Traslación

• Rotación

• Homotecia

Lo que estoy aprendiendo de la clase de Geometría de la Maestría en Competencias Matemáticas es que siempre hay que ir a la vanguardia en nuestra profesión, impactando en nuestros estudiantes la visión tan negativa que se tiene de la asignatura de Matemáticas, logrando apreciar no solo su utilidad en nuestra vida diaria sino también lo divertido que puede resultar al plantear actividades como las de esta sesión.